ベクトル積による
「Ａ×Ｂ」の考察
はじめに
しづむさん、すみません。こんなページを作ってしまって（汗）。
頂いた五条義経記の案内パンフレットを読んでいたら……つい。
そのパンフレット中の「『遮那王←芥子丸』のどっちが上かわからないくらいの肉体関係」
と矢印「←」からヒントを得ました。
……どっちが上か。「←」といったらベクトル……。そうか！ 「Ａ×Ｂ」はベクトル積だったんだ！！
という具合でした（笑）。
では、無謀とも思われる考察をはじめます。
2003.01.01 Sugar
１．ベクトル積
２つのベクトルＡ，Ｂ（以下ベクトルは太い文字で表す）があるとき、ベクトル積
Ｃ＝Ａ×Ｂ (1.1)
をつぎのように定義する。その大きさは、図１のように２つのベクトルの間の角をθとするとき、
｜Ｃ｜＝｜Ａ×Ｂ｜＝Ｓ＝AB sinθ (1.2)
で与えられる。向きはベクトルに垂直で、ベクトルＡからＢに向けて回転する右ネジの進む方向を向く。
上の定義から、掛ける順序を逆にすると、得られるベクトルは逆向きになる。すなわち、
Ａ×Ｂ＝−Ｂ×Ａ (1.3)
となる。
２．五条義経記への置換
上を五条義経記の遮那王と芥子丸に置き換えると図２のようになる。図からわかるように「遮那王×芥子」と「芥子×遮那王」とは同一直線上にあり、大きさが同じ
｜遮那王×芥子｜＝｜芥子×遮那王｜ (2.1)
で向きが逆のベクトルとなる。点Ｏからそれぞれのベクトルを見ると、まったく同じに見えるのである。 あるいは、点Ｏに鏡を置いたと考えてもよい。
式(2.1)の絶対値記号を取り去り、ベクトル（太字）表記をやめると、
遮那王×芥子＝芥子×遮那王 (2.2)
となる。この関係を別の主従関係に当てはめると、
沙門×穂邑＝穂邑×沙門 (2.3)
や
朝民×伯芳＝伯芳×朝民 (2.4)
などとなる。
３．ベクトル積とθ
ここで、ベクトル積と２つのベクトルの間の角θについて考える。ベクトル積の大きさは、式(1.2)および図２からわかるように、遮那王と芥子を２辺とする平行四辺形の面積Ｓで与えられる。したがって、図３のようにθ＝１８０°およびθ＝０のときは平行四辺形ができず、ベクトル積は、
遮那王×芥子＝０ (3.1)
となる。
遮那王×芥子＝０でない（遮那王×芥子で萌える）ためには、それぞれの宿命のベクトルが互いに逆方向を向くことはもちろん、同一方向を向いてもいけないのである。つまり、遮那王と芥子のベクトルが微妙にずれている必要がある。
４．まとめ
以上をまとめると、つぎの２つのようになる。
まとめ１
「Ａ（任意の人物）×Ｂ（任意の人物）」の掛ける順序を逆にすると、得られるベクトルは逆向きになる。そのベクトルの大きさ（長さ）は同じで、
Ａ×Ｂ＝Ｂ×Ａ (4.1)
文字サイズが大きくベクトルのように見えますが、式(4.1)は
｜Ａ×Ｂ｜＝｜Ｂ×Ａ｜を意味します。
となる。
まとめ２
「Ａ×Ｂ」で萌えるためには、それぞれの宿命のベクトルが微妙にずれている必要がある。